Séries alternées et leur critère de convergence
Une série de terme général $u_n\in\mathbb R$ est alternée si, pour chaque entier naturel $n,$ $u_{n+1}$ est de signe opposé à $u_n$. On a un critère très pratique de convergence pour ce type de séries :
Critère des séries alternées :
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, et
tendant vers $0$. Alors la série
$\sum_n (-1)^n a_n$ converge. De plus, si on note $S$ sa somme, $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}
(-1)^k a_k$ le reste d'ordre $n$, alors pour tout entier naturel $n$, on a
$$S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n},\quad |R_n|\leq a_{n+1}$$
et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n+1}$.
Exemple : La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>0.$
C'est dans les travaux de Leibniz que l'on voit apparaître pour la première fois un tel résultat.
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