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Séries alternées et leur critère de convergence

  Une série de terme général $u_n$ est alternée si, pour chaque n, $u_{n+1}$ est de signe opposé à $u_n$. On a un critère très pratique de convergence pour ce type de séries :

Théorème : (critère des séries alternées)

  On considère une série de terme général $u_n$ telle que :
  1. $u_{n+1}$ est de signe opposé à $u_n$.
  2. La suite $(|u_n|)$ décroit, et tend vers 0.
Alors la série $\sum_n u_n$ converge. De plus, si on note $R_n$ son reste, défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k,$$ alors on a $$|R_n|\leq |u_{n+1}|.$$
Autrement dit, la dernière inégalité nous dit que le reste est toujours majorée (en valeur absolue) par le premier terme négligé. On peut aussi prouver que la somme d'une série alternée est toujours encadrée par deux sommes partielles consécutives.

Ex : La série de terme général converge.
C'est dans les travaux de Leibniz que l'on voit apparaitre pour la première fois un tel résultat.
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