$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Séparable


  Un espace métrique E est dit séparable s'il possède une suite dense.

Exemples :

  • R est séparable : Q est en effet dense dans R.
  • Un espace métrique compact K est séparable. Soit en effet rn =1/n. D'après la propriété de Borel-Lebesgue, pour chaque n, K est recouvert par un nombre fini mn de boules de centre xn,i , de rayon rn . On considère la réunion des centres de ces boules, pour tout n dans N, pour tout i dans {1,...mn }. Cet ensemble est au plus dénombrable comme réunion dénombrable d'ensembles au plus finis ou dénombrables. On peut donc l'énumérer en une suite qui est clairement dense dans E.
  • Si E est un espace métrique séparable, et F est une partie de E, alors F est aussi séparable : pour une suite xn dense dans E, et la suite rn décroissante, considérer pour tout couple (m,n) d'éléments un élément a m,n dans l'intersection de F et de la boule de centre xm de rayon rn (s'il en existe un). Alors am,n est une suite dense dans F.
  • Si E est un espace de Banach dont le dual E' est séparable, alors E est séparable. La réciproque est fausse. Par exemple, l 1 est séparable, alors que son dual l infini ne l'est pas.

En analyse fonctionnelle, la séparabilité est liée à des propriétés de métrisabilité de la topologie faible. (X est séparable ssi la boule unité du dual est métrisable pour la topologie faible).