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Bibm@th

Problème du scrutin et principe de réflexion

Le problème du scrutin est le problème suivant : dans une élection où le vainqueur a recueilli $p$ voix, et le vaincu $q$ voix, quelle est la probabilité pour que le vainqueur soit toujours en tête lors du dépouillement?

On associe au déroulement du dépouillement un chemin de la façon suivante : on part du point (0,0). Dès qu'on dépouille un bulletin du vainqueur V, on avance d'un cran à droite, et on monte d'un cran. Quand on dépouille un bulletin du perdant P, on avance à droite, et on descend d'un cran. Si par exemple le début du dépouillement donne V-P-V-V-P, on a le chemin :

Si le point de coordonnées $(x,y)$ est sur le chemin, $x$ représente le nombre de bulletins dépouillés, et $y$ la différence entre le nombre de voix obtenus par le vainqueur et le vaincu à cet instant du dépouillement. Le premier point du chemin est (0,0), le dernier le point $(n,s)$ avec $n=p+q$, $s=p-q$. Notre problème est de comptabiliser le nombre de chemins allant de (0,0) à $(n,s)$, et se situant, à part le point (0,0), strictement au-dessus de l'axe horizontal. Le premier segment d'un tel chemin amène forcément (0,0) en (1,1), et il suffit de compter le nombre de chemins qui vont de (1,1) à $(n,s)$ sans toucher ou traverser l'axe horizontal. On réalise ce calcul en 3 étapes :

  • Etape 1 : on compte le nombre total de chemins qui vont de (1,1) à $(p+q,p-q)$. Il s'agit, pour $(p+q-1)$ voix dépouillées, de choisir le moment où les $(p-1$) voix sont données au vainqueur. Il faut donc choisir une partie à $p-1$ éléments parmi $(p+q-1)$ : il y a $\binom{p+q-1}{p-1}$ tels chemins.
  • Etape 2 : on compte le nombre de chemins de (1,1) à (p+q,p-q) qui touchent ou traversent l'axe horizontal. On utilise le principe de réflexion suivant :
    Lemme : Le nombre de chemins qui vont de (1,1) à $(p+q,p-q)$ qui touchent ou traversent l'axe horizontal vaut le nombre total de chemins allant de (1,-1) à $(p+q,p-q)$.
    La preuve de ce lemme est géométrique. Soit $C$ un chemin qui va de (1,1) à $(p+q,p-q)$ en touchant ou traversant l'axe. On note T le premier point de contact avec l'axe horizontal. On note $C_1$ la portion de chemin qui va de (1,1) à T, et $C_2$ la portion de chemin qui va de T à $(p+q,p-q)$. On construit $C'$ un chemin de la façon suivante : $C'$ est la réunion de $C'_1$ et $C'_2$, où $C'_1$ est le symétrique de $C_1$ par rapport à l'axe horizontal :
    Alors, $C$' est un chemin qui va de $(-1,1)$ à $(p+q,p-q)$, et la correspondance $C$ donne $C'$ est une bijection.

      Pour compter le nombre de chemins qui vont de (1,1) à (p+q,p-q) en touchant l'axe horizontal, il suffit de compter le nombre de chemins qui vont de $(1,-1)$ à $(p+q,p-q)$. On calcule ce nombre comme à l'étape 1, et on trouve $\binom{p+q-1}p$ tels chemins.

  • Etape 3 : Conclusion.
      Le nombre de chemin recherché vaut le nombre total de chemins moins le nombre de chemins qui traversent l'axe, soit : $$\binom{p+q-1}{p-1}-\binom{p+q-1}p=\frac{p-q}{p+q}\binom{p+q}p.$$ Maintenant, il y a $\binom{p+q}p$ dépouillements possibles (on compte les moments où les $p$ voix sont données au vainqueur parmi $p+q$). La probabilité pour que le vainqueur soit toujours en tête est donc : $$\frac{p-q}{p+q}.$$