Théorème de Schwarz (fonctions différentiables)

Analyse -- Fonctions de plusieurs variables

Théorème : Soient U un ouvert de Rn et f une fonction de U dans Rp de classe C2 sur U. Alors, pour tout a dans U et tous i,j dans {1,..,n} on a :

  Autrement dit, ce théorème dit que pour les fonctions suffisament régulières, l'ordre de dérivation par rapport aux variables n'a pas d'importance. Il suffit en fait que les dérivées partielles existent au voisinage d'un point a et soient continues en a pour pouvoir intervertir l'ordre de dérivation.

  En revanche, sans l'hypothèse de continuité au point a, le résultat du théorème devient faux. Par exemple, si
alors les dérivées partielles d'ordre 2 de f en (0,0) existent, mais
Ce contre-exemple est dû à Peano.
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