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Théorème de Schwarz et de Schwarz-Pick (fonctions holomorphes)

  Le théorème de Schwarz est un théorème d'analyse complexe qui précise le comportement des fonctions holomorphes qui envoient le disque unité sur lui-même.

Théorème de Schwarz: Soit f une fonction holomorphe dans le disque unité D={z de C, |z|<1}. On suppose que f(0)=0, et |f(z)|<=1 dans D. Alors :
  1. On a |f(z)|<=|z| pour tout z dans D, et |f'(0)|<=1.
  2. Si |f(w)|=|w| pour un w non nul, ou si |f'(0)|=1, alors f(z)=az, où a est un complexe de module 1.

  Ce théorème est très utile. Il sert par exemple pour déterminer les automorphismes du disque unité. Il admet une version même dans le cas où on n'a pas f(0)=0.
Théorème de Schwarz-Pick: Soit f une fonction holomorphe du disque unité D={z de C, |z|<1} dans lui même. Alors on a, pour tous a et z de D
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