Espace de Schwartz et distributions tempérées

Analyse -- Fonctions d'une variable réelle
Analyse -- Intégration

Définition : On dit qu'une fonction f définie sur R appartient à l'espace de Schwartz (que l'on note ) si la fonction f, ainsi que toutes ses dérivées, sont à décroissance rapide.
Autrement dit, f est dans si et seulement si, pour tout p,
  L'espace de Schwartz est particulièrement utile lors de l'étude de la transformée de Fourier. On prouve en effet que la transformée de Fourier est un isomorphisme de l'espace de Schwartz dans lui-même. Il est aussi utile pour définir les distributions tempérées : rappelons qu'une distribution est une forme linéaire sur l'ensemble des fonctions infiniment dérivables à support compact.
Définition : On dit qu'une distribution u est une distribution tempérée s'il existe une constante C et un entier p tels que :
Exemple : Soit f une fonction localement sommable tel que |f(x)|(1+|x|p). La distribution u associée à f est définie par :
Alors,
  Par le théorème d'Hahn-Banach, on peut étendre le domaine de définition d'une distribution tempérée à l'espace de Schwartz. Puis, par dualité, on peut encore définir la transformée de Fourier d'une distribution tempérée.
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