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Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt est un algorithme permettant de fabriquer une famille orthonormée à partir d'une famille libre dans un espace euclidien.

Théorème : Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. Alors il existe une unique base orthonormale $(u_1,\dots,u_n)$ de $E$ telle que :
  • pour tout $p$ de $\{1,...,n\}$, $\textrm{vect}(u_1,...,u_p)=\textrm{vect}(e_1,\dots,e_p)$.
  • pour tout $p$ de $\{1,...,n\}$, $(e_p,u_p)\geq 0$.

Géométriquement, la matrice de passage de $(e_1,\dots,e_n)$ à $(u_1,\dots,u_n)$ est triangulaire supérieure, et ses coefficients diagonaux sont strictement positifs. On construit la famille $(u_1,\dots,u_n)$ étape par étape :

  • Pour $u_1$, il suffit de normer $e_1$ :
  • Pour $u_2$, on construit un vecteur intermédiaire $v_2=e_2+a_{1,2}u_1$ Pour que $v_2$ soit orthogonal à $u_1$, il est nécessaire de poser :
  • Les vecteurs $u_1,\dots,u_{k-1}$ étant construits, on cherche d'abord $v_k$ qui possède les mêmes propriétés que $u_k$, mais n'est pas nécessairement normé. On l'écrit sous la forme $$v_k=e_k+a_{1,k}u_1+\dots,a_{k-1,k}u_{k-1}.$$ Pour que $v_k$ soit orthogonal à $u_i$, pour $i$ compris entre $1$ et $k-1$, il est nécessaire et suffisant de poser
    En prenant on a répondu aux conditions.

On utilise le procédé de Schmidt par exemple lorsqu'on souhaite calculer des projetés orthogonaux sur des sous-espaces. C'est aussi un outil commode dans la démonstration de la classique inégalité d'Hadamard.

Si ce procédé porte le nom du mathématicien danois Gram (qui le publie en 1883), et de Schmidt (qui cite Gram en 1907), il était en réalité déjà connu de Laplace en 1816 et de Cauchy en 1836).
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