$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

La technique du saut de puce appliquée à la densité

  Le nom de saut de puce est donné à un raisonnement classique de topologie qui permet par exemple de prouver que l'ensemble des rationnels $\mathbb Q$ est dense dans l'ensemble des réels $\mathbb R$. Voici en quoi il consiste. Prenez n'importe quel réel $x$, et soit $r$ un autre réel strictement positif. On cherche à prouver qu'il existe un rationnel $q$ dans l'intervalle $[x-r;x+r]$.
  Choisissons d'abord un entier $b$ tel que $0<\frac 1b<r.$ Sans perte de généralité, nous supposons que $x>0$. Si $\frac 1b$ est dans $[x-r,x+r]$, alors on a gagné. Sinon, on regarde $\frac 2b$ (ie on fait un petit saut). S'il est dans $[x-r,x+r]$, on a gagné. Sinon, on continue.... et en continuant ainsi, on sûr d'atterrir dans $[x-r,x+r]$. En effet, à chaque fois, on fait un saut de longueur $\frac 1b$, ce qui est plus petit que la longueur de l'intervalle $[x-r,x+r]$, donc nos sauts de puce ne pourront pas passer "au-dessus" de $[x-r,x+r]$.
  Mathématisons un peu tout cela. Soit $A=\{n\in\mathbb N; \frac nb>x+r\}$. Cet ensemble d'entiers est non vide, donc il admet un plus petit élément, que nous notons $c$. Par définition, $$\frac cb>x+r \textrm{ et } \frac{c-1}b\leq x+r.$$ Il suffit donc de prouver que $$\frac{c-1}b>x-r.$$ Mais $$\frac{c-1}b>x+r-\frac1b\geq x,$$ puisqu'on a choisi $\frac 1b<r$. Un rationnel possible est donc $\frac{c-1}b$.