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Bibm@th

Théorème de Sard

Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb R^d$ et $f:U\to\mathbb R^d$ une application de classe $\mathcal C^k$. Soit $C$ l'ensemble des points critiques de $f$, c'est-à-dire l'ensemble des points où la différentielle de $f$ n'est pas surjective. Alors l'image $f( C)$ est un ensemble de mesure nulle de $\mathbb R^p$ dès que $k\geq 1$ et $k\geq n-p$.

  Le théorème de Sard donne des informations sur l'ensemble $f( C)$ des valeurs critiques : il est petit. En revanche, l'ensemble des points critiques peut lui être gros, par exemple si f est une fonction constante.

Le cas $p=1$ de ce théorème a été obtenu par Morse en 1939, le cas général est du à Sard en 1942.