$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème de Rouché-Fontené

On souhaite déterminer si un système linéaire de $n$ équations à $p$ inconnues admet des solutions :

$$\left\{ \begin{array}{ccl} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,p}x_p&=&b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,p}x_p&=&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,p}x_p&=&b_n\\ \end{array}\right. $$

On note $r$ le rang de la matrice associée au système. C'est encore l'ordre maximum d'un déterminant non nul extrait de $A$. Quitte à changer l'ordre des équations et des inconnues, on peut supposer que le déterminant non nul est donné par les $r$ premières lignes et les $r$ premières colonnes de la matrice. On note $$D=\left| \begin{array}{cccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,r}\\ a_{2,1}&\vdots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{r,1}&\dots&\dots&a_{r,r} \end{array}\right|$$

ce déterminant, appelé déterminant principal du système. Les inconnues $x_1,\dots,x_r$ sont dites principales, comme les $r$ premières équations, alors que les autres équations et inconnues sont dites auxiliaires. Les déterminants caractéristiques du système sont alors $$D_s=\left| \begin{array}{ccccc} a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,r}&b_1\\ a_{2,1}&\vdots&\vdots&\vdots&b_2\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{r,1}&\dots&\dots&a_{r,r}&b_r\\ a_{s,1}&\dots&\dots&a_{s,r}&b_s\\ \end{array}\right|$$

où $s=r+1,\dots,n.$ Si un seul des déterminants caractéristiques est non nul, le système n'a pas de solution. Sinon, il y a une solution unique si $r=p$, ou des solutions paramétrées par $p-r$ variables sinon. Ceci donne le théorème suivant, appelé théorème de Rouché-Fontené :

Théorème : Soit un système de $n$ équations à $p$ inconnues de rang $r.$
  • si $r=n,$ le système admet une solution et les solutions forment un sous-espace affine de dimension $p-r$ de $\mathbb R^p.$
  • si $r<n$ et si l'un des $n-r$ déterminants caractéristiques est non nul, le système n'admet pas de solutions.
  • si $r<n$ et si les $n-r$ déterminants caractéristiques sont nuls, alors le système admet une solution et les solutions forment un sous-espace affine de dimension $p-r$ de $\mathbb R^p.$

Ce théorème peut aussi s'énoncer à l'aide de la matrice augmentée du système, c'est-à-dire la matrice $(A|b)$ où $A$ est la matrice du système et $b$ est le vecteur du second membre.

Théorème : Soit un système de $n$ équations à $p$ inconnues $Ax=b.$ Ce système possède une solution si et seulement si le rang de $A$ est égal au rang de la matrice augmentée $(A|b).$ Dans ce cas, l'ensemble des solutions est un sous-espace affine de $\mathbb R^p$ de dimension $p-r,$ où $r$ est le rang de $A.$ En particulier, si $p=r,$ la solution est unique sinon il existe une infinité de solutions.
Ce théorème est un bon exemple de résultat qui porte des noms différents suivant les pays. Il s'appelle en France théorème de Rouché-Fontené, Georges Fontené et Eugène Rouché ayant publié des résultats similaires, l'un dans les Nouvelles annales de Mathématiques, l'autre dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, tous les deux vers 1880. Georg Frobenius discute de ce résultat dans un article de 1905, en attribue la paternité à Rouché et Fontené, et pourtant ce théorème d'appelle théorème de Rouché-Frobenius en Espagne et en Amérique latine. Il porte aussi le nom de théorème de Rouché-Capelli en Italie et dans les pays anglo-saxons, Capelli ayant été le premier à le formuler en utilisant la terminologie de "rang d'une matric". Il s'appelle enfin théorème de Kronecker-Capelli en Russie, Kronecker en ayant également donné une version dans son cours à l'Université de Berlin donné de 1883 à 1891!
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