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Théorème de Rolle

Théorème de Rolle : Soit $a<b$ des réels et $ f:[a,b]\to\mathbb {R}$ une fonction. On suppose que :
  • $f$ est continue sur $[a,b]$
  • $f$ est dérivable sur $]a,b[$
  • $f(a)=f(b)$
Alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c )=0$.

Applications :
   Le théorème de Rolle permet d'établir le théorème des accroissements finis, et à ce titre il est à la base des relations liant la croissance d'une fonction et le signe de sa dérivée. Il est aussi lié à des problèmes de séparation de racines de polynômes.

Exemple : Soit $ P\in\mathbb {R}[X]$ scindé et $ \lambda\in\mathbb {R}$. Alors $ P'+\lambda P$ est scindé.
En effet, soit $m$ le degré de $P$, $\alpha_1<\dots<\alpha_p$ ses racines, $\alpha_i$ étant de multiplicité $ m_i$. L'hypothèse $P$ scindé se traduit par $ \displaystyle\sum_{i=1}^{p}m_i=m$. Chaque $ \alpha_i$ est encore racine de $P$, de multiplicité $m_i-1$, étant entendu qu'une racine de multiplicité nulle n'est plus une racine. Pour $ P'+\lambda P$, on a donc trouvé $ \sum_{i=1}^p (m_i-1)=m-p$ racines, comptées avec leur multiplicité. Il reste à en trouver $p-1$ différentes des $ \alpha_i$. Posons $ f(t)=P(t)\exp(\lambda t)$, de sorte que $f'(t)=(p'+\lambda P)\exp(\lambda t)$. Pour $i\in\{1;\dots,p-1\}$, on a $ f(\alpha_i)=f(\alpha_{i+1})=0$, et donc (théorème de Rolle) $ \exists \beta_i\in]\alpha_i,\alpha_{i+1}[,\ f'(\beta_i)=0$ soit encore $ (P'+\lambda P)(\beta_i)=0$. On a trouvé les racines manquantes!

Michel Rolle était un pourfendeur du calcul différentiel inventé à son époque par Leibniz et Newton. Ses débats avec Varignon à ce propos sont restés célèbres. Il est amusant de constater qu'il est resté célèbre par un résultat concernant le calcul différentiel. Cela dit, il n'avait énoncé son résultat que pour des polynômes. C'est Giusto Bellavitis qui donna le nom de théorème de Rolle au théorème que l'on connait maintenant.
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