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Intégrale de Riemann

  L'intégrale de Riemann est une intégrale construite par Bernhard Riemann en 1854 pour répondre à la question suivante : quelles fonctions sait-on intégrer? Jusque là, on savait depuis Cauchy intégrer les fonctions réglées, c'est-à-dire une fonction admettant une limite à droite et à gauche en tout point. La définition que pose Riemann dans son mémoire est la suivante :
Définition : Soit $f$ une fonction bornée sur $[a,b]$. Pour $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$ et des points $\xi_i$, $1\leq i\leq n$ avec pour chaque $i$, $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$, on définit la somme (de Riemann) $$S(f,\sigma,\xi)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})f(\xi_i).$$ On dit que $f$ est Riemann intégrable si, ces sommes tendent vers une limite finie, indépendante du choix de $\sigma$ et des points $\xi_i$, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0. Cette limite s'appelle alors intégrale de Riemann de f, et est noté $\int_a^b f(t)dt$.

  Bien sûr, cette définition n'est pas très simple, car il est bien difficile à sa lecture de savoir quelles sont les fonctions intégrables au sens de Riemann. En utilisant par exemple l'uniforme continuité, il peut être démontré que toute fonction continue est Riemann intégrale, et qu'alors l'intégrale de Cauchy et celle de Riemann coïncident. Riemann donne dans le même mémoire une caractérisation complète des fonctions intégrables, dont la forme suivante est due à Darboux (1875) :
Définition : Soit $f$ une fonction bornée sur $[a,b]$. Pour $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$, on définit la somme de Darboux inférieure de $f$ relativement à $\sigma$, notée $S_-(\sigma,f)$, et la somme de Darboux supérieure de $f$ relativement à $\sigma$, notée $S_+(\sigma,f)$, par : $$S_-(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})m_i\textrm{ et }S_+(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})M_i$$ où $m_i=\inf_{t\in [x_{i-1},x_i]}f(t)$, $M_i=\sup_{t\in [x_i-1,x_i]}f(t)$. Alors $f$ est Riemann intégrable si et seulement l'une des conditions équivalentes suivante est vérifiée :
  • $S_-(f)=\sup_\sigma S_-(f,\sigma)$ et $S_+(f)=\inf_\sigma S_+(f,\sigma)$ sont égales.
  • On a $\lim S_+(f,\sigma)-S_-(f,\sigma)=0$ lorsque le pas de la subdivision $\sigma$ tend vers 0.
La valeur commune de $S_-(f)$ et de $S_+(f)$ est alors égale à l'intégrale de Riemann de $f$.
  A l'aide de ce critère, on peut démontrer que toute fonction réglée est Riemann intégrable. Ainsi, l'intégrale de Cauchy est (strictement) contenue dans celle de Riemann. Plus tard, en 1903, Lebesgue donne une autre caractérisation très pratique de l'intégrabilité au sens de Riemann. Rappelons qu'une partie $E$ de $\mathbb R$ est négligeable si elle est contenue dans une réunion dénombrable d'intervalles ouverts dont la somme des longueurs est arbitrairement petite. Lebesgue prouve alors le résultat suivant :
Théorème : Soit $f$ une fonction bornée sur $[a,b]$. $f$ est Riemann intégrable si l'ensemble de ces points de discontinuité est négligeable.

  Parallèlement, au début du XXiè siècle, Lebesgue développe une nouvelle théorie de l'intégration, qui a de nombreux avantages par rapport à l'intégrale de Riemann : plus de fonctions intégrables, plus grande facilité pour intégrer ailleurs que sur $\mathbb R$, de très puissants théorèmes de permutation de limite et d'intégrale.
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