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Paradoxe de Richard

  Le paradoxe de Richard est un paradoxe qui apparait dans la théorie des ensembles lorsque celle-ci n'est pas assez formalisée. En voici l'énoncé. L'alphabet étant composé d'un nombre fini de lettres, l'ensemble des nombres réels qu'on peut définir avec un nombre fini de mots est un ensemble dénombrable. Par un argument du type de celui de la diagonale de Cantor, on peut construire un nombre réel hors de cette liste. Ce nombre réel, par définition, ne peut pas être défini avec un nombre fini de mots. C'est pourtant ce que l'on vient de faire!

  On est ici très proche des paradoxes d'autoréférence, tel le paradoxe du menteur. Le paradoxe de Richard vient du sens imprécis que l'on donne au mot "définir". Il faut distinguer le langage mathématique, formalisé, celui dans lequel sont définis les nombres réels, du méta-langage, dans lequel est formulé le paradoxe.

Ce paradoxe a été énoncé par le mathématicien français Jules Richard en 1905, alors qu'il est professeur au lycée de Dijon. Une variante en est donnée un an plus tard par Bertrand Russell, sous le nom de paradoxe de Berry.
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