$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résultant et discriminant

Soit $P$ un polynôme de degré $p$, et $Q$ un polynôme de degré $q$ :

La matrice de Sylvester de $P$ et $Q$ est la matrice d'ordre $p+q$ suivante :

Il faut ici comprendre que les coefficients du polynôme $P$ sont écrits en colonne, puis répétés $q$ fois en décalant d'un cran vers le bas. On fait de même ensuite avec les coefficients de $Q$, qui sont eux répétés $p$ fois.

Le résultant de $P$ et $Q$, noté $\textrm{res}(P,Q)$, est le déterminant de cette matrice. C'est une quantité importante, car elle permet de décider si deux polynômes $P$ et $Q$ ont un facteur commun :

Théorème : Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes sur un corps $\mathbb K$, alors $P$ et $Q$ ont un diviseur commun si, et seulement si, leur résultant est nul. En outre, si $P$ est scindé de racines $a_1,\dots,a_p$, on a la formule :
Discriminant
Définition : Soit $P=a_pX^p+a_{p-1}X^{p-1}+\dots+a_0$, avec $p>1$. On appelle discriminant de $P$ la quantité :
Si $P(X)=aX^2+bX+c$, et si le corps est de caractéristique nulle, on a l'expression classique :
Pour $p>2$, on ne peut malheureusement pas exprimer les racines de $P$ en fonction de son discriminant. En revanche, le discriminant est un outil pour savoir si $P$ et $Q$ ont des racines multiples :
Théorème : $P$ n'admet que des racines simples sur $\mathbb C$ si, et seulement si, le discriminant de $P$ est non nul.
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