Groupe résoluble
Définition : Un groupe $G$ est dit résoluble
s'il existe une suite finie $G_0,\dots,G_n$ de sous-groupes de $G$ telle que
$$\{1\}=G_0\subset G_1\subset\cdots\subset G_{n-1}\subset G_n=G,$$
avec $G_i$ distingué dans $G_{i+1}$ et le groupe quotient $G_{i+1}/G_i$ abélien. La suite
$(G_0,\dots,G_n)$ est alors appelée suite de résolubilité de $G$.
Exemples :
- Le groupe des permutations $S_n$ est résoluble pour $n\leq 4$.
- Tout $p$-groupe fini est résoluble.
- Tout groupe fini d'ordre impair est résoluble. Il s'agit d'un théorème très difficile de Feit et Thompson prouvé en 1962, qui répond à une question posée par Burnside en 1897.
Le terme de groupe résoluble
trouve son origine dans la théorie de Galois. Le groupe de Galois associé à une équation est en effet résoluble
si et seulement si l'équation associée est résoluble par radicaux. La non-résolubilité de $S_5$ prouve en particulier l'existence d'équations du 5ème degré que l'on ne peut pas résoudre par radicaux.
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