$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résidu

Définition : Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage de a, sauf en a. Pour r assez petit, on note Cr le cercle de centre a et de rayon r. Alors les intégrales
sont indépendantes de r. La valeur commune de ces intégrales est appelé résidu de f en a, et est noté Res(f,a).

  On ne calcule pas en général le résidu de f en a par cette formule (c'est même plutôt le contraire, voir ci-dessous). On démontre que Res(f,a) est aussi le coefficient devant 1/(z-a) dans le développement en série de Laurent de f en a. Pour calculer pratiquement le résidu de f en a, on réalise donc un développement limité en a, pour obtenir devant le terme en 1/(z-a).

Théorème : Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert étoilé U, sauf aux points d'un ensemble S de singularités isolées. Soit C un circuit tracé dans U, et ne rencontrant pas S. Alors :

  Le théorème des résidus, qui n'est finalement rien d'autre qu'une version particulièrement flexible de la formule de Cauchy, a de très nombreuses applications : calculs d'intégrales, principe de l'argument, théorème de Rouché, théorème de l'image ouverte, théorème d'inversion locale.
Consulter aussi...