$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Réseau

En topologie

Soit $(X,d)$ un espace métrique, et $\veps>0.$ On appelle $\veps$-réseau toute famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $X$ telle que $$\forall x\in X,\ \exists i\in I,\ d(x,x_i)<\veps.$$

En théorie des groupes et en arithmétique

Un réseau de $\mathbb R^n$ est un sous-groupe discret $\Lambda$ de $\mathbb R^n$ tel que l'espace vectoriel engendré par $\Lambda$ est $\mathbb R^n$ tout entier.

A un réseau $\Lambda$, on peut associer :

  • une base, c'est-à-dire une famille (libre) $(e_1,\dots,e_n)$ telle que tout $x$ de $\Lambda$ s'écrive de façon unique $$x=\sum_{i=1}^nx_i e_i$$ avec $x_i\in\mathbb Z.$ Une telle base existe toujours.
  • un domaine fondamental associé à une base $(e_1,\dots,e_n).$ Il s'agit de l'ensemble suivant : $$\mathcal D(\lambda,(e_i))=\left\{\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i:\ \lambda_i\in[0,1[\right\}.$$

Bien sûr, le domaine fondamental dépend de la base du réseau, mais son volume (au sens de la mesure de Lebesgue) est indépendant de la base choisie. Cela permet de formuler le théorème de Minkowski :

Théorème : Soit $\Lambda$ un réseau de $\mathbb R^n$, $V$ le volume de son domaine fondamental. Toute partie convexe de $\mathbb R^n$, mesurable, symétrique par rapport à l'origine, et de mesure strictement plus grande que $2^n V,$ contient un élément non-nul de $\Lambda$.

Le théorème de Minkowski est un résultat important d'arithmétique, dans le domaine de la géométrie des nombres.

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