$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Représentation de groupe

Une représentation de groupes est un moyen de voir un groupe comme un groupe de matrices inversibles, dans le but de comprendre certaines propriétés du groupe à l'aide des propriétés des matrices associées.

Définition : Soit $G$ un groupe et $V$ un espace vectoriel. On appelle représentation du groupe $G$ dans $V$ tout morphisme de $G$ dans $GL(V)$, c'est-à-dire toute application $\rho:G\to GL(V)$ vérifiant $\rho(g_1g_2)=\rho(g_1)\circ \rho(g_2)$ pour tous $g_1,g_2\in G$.

Le plus souvent, on travaille avec un groupe $G$ fini et un espace vectoriel $V$ de dimension finie (ce que nous supposerons dans la suite). Fixons quelques définitions associées :

  • une représentation $\rho:G\to GL(V)$ est dite fidèle si $\rho$ est un morphisme injectif.
  • le degré de la représentation est la dimension de $V$.
  • si $W$ est un sous-espace stable pour tous les éléments de $\rho(G)$, alors on peut définir une application $\rho_W:G\to GL(W),\ g\mapsto \rho(G)_{|W}$ qui est un morphisme de groupes. La représentation $\rho_W:G\to GL(W)$ s'appelle alors une sous-représentation de $\rho:G\to GL(V)$.
  • la somme directe d'une famille de représentations $\rho_i:G\to V_i$ (du même groupe $G$) est la représentation $\rho$ de $G$ sur $\oplus_i V_i$ en posant $\rho(g)=\oplus_i \rho_i(g)$.
  • un morphisme de la présentation $\rho:G\to V$ vers la représentation $\sigma:G\to W$ est une application linéaire $\varphi:V\to W$ vérifiant la relation d'entrelactement $\varphi\circ\rho(g)=\sigma(g)\circ\varphi$ pour tout $g\in G$.
Consulter aussi...