$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonctions continues par morceaux, fonctions $C^k$ par morceaux

Définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction. On dit que $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$, alors $g_i$ se prolonge en une fonction continue à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.
  Autrement dit, $f$ est continue par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, $f$ est continue sur l'intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ et $f$ admet une limite à gauche et une limite à droite (éventuellement différentes) en chaque $a_i$.

  Plus généralement, $f:[a,b]\to\mathbb R$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux s'il existe une subdvision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de l'intervalle $[a,b]$ telle que, pour tout $i=0,\dots,n-1$, si on pose $g_i=f_{|]a_i,a_{i+1}[}$, alors $g_i$ se prolonge en une fonction $\mathcal C^k$ à tout l'intervalle $[a_i,a_{i+1}]$.

  Si maintenant $f$ est définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ qui n'est plus nécessairement un segment, alors on dit que $f$ est de classe $\mathcal C^k$ par morceaux sur $I$ si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans $I$.

  Les fonctions $\mathcal C^k$ par morceaux interviennent par exemple dans les théorèmes de convergence des séries de Fourier, ou dans certaines constructions de l'intégrale.
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