$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Règle de d'Alembert

La règle de d'Alembert est une règle qui permet de déterminer la nature de certaines séries, en particulier des séries dont le terme général fait apparaître des puissances, des factorielles....

Théorème : Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs. On suppose que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\to \ell\in [0,+\infty].$$ Alors :
  • si $\ell>1$, la série de terme général $u_n$ diverge.
  • si $\ell<1$, la série de terme général $u_n$ converge.
  • si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.

La règle de d'Alembert est en particulier très utilisée pour les séries entières, cadre où elle s'énonce ainsi :

Théorème : Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière. Dans le cas où $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ admet une limite, alors le rayon de convergence $R$ de la série entière vaut $\frac 1R=\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}.$
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