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Règle de Cauchy

La règle de Cauchy est une règle qui permet de déterminer la nature de certaines séries, en particulier des séries dont le terme général fait apparaître des puissances, des factorielles....

Théorème (règle de Cauchy) : Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels ou complexes. On suppose que $$|u_n|^{1/n}\to \ell\in[0,+\infty].$$
  • si $\ell>1$, la série de terme général $u_n$ diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$).
  • si $\ell<1$, la série de terme général $u_n$ converge absolument.
  • si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.

La règle de Cauchy est plus précise que la règle de d'Alembert au sens suivant : si la règle de d'Alembert permet de conclure, alors on aurait aussi pu conclure avec celle de Cauchy. En revanche, il existe des séries dont on peut déterminer la nature avec la règle de Cauchy mais pas avec la règle de d'Alembert.

Il existe une version un peu plus précise de la règle de Cauchy : la discussion (identique) se fait non pas en fonction de $\lim_n |u_n|^{1/n}$ (qui n'existe pas toujours), mais en fonction de $\limsup_n |u_n|^{1/n}$.

La règle de Cauchy est en particulier très utilisée pour les séries entières, cadre où elle s'énonce ainsi :

Théorème : Soit $\sum_n a_n z^n$ une série entière. Si $(|a_n|^{1/n})$ admet une limite $\ell\in[0,+\infty]$, alors le rayon de convergence $R$ de la série entière vérifie $$R=\frac 1{\ell}.$$
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