$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Longueur d'une courbe - Arc rectifiable

  La définition de la longueur d'une courbe C est fondée sur le principe suivant : le plus court chemin pour aller d'un point à un autre est la ligne droite. Si on a une courbe d'extrémités A et D, et si B et C sont deux points sur la courbe, il est naturel que la longueur de la courbe soit supérieure ou égale à AB+BC+CD. Maintenant, plus on prend de points sur la courbe, plus la somme des longueurs des segments joignant ces points sera une bonne approximation de la longueur de la courbe.

La définition de la longueur d'une courbe associée à un arc paramétré suit ces idées :

Définition : Soit C=(I=[a,b],f) un arc paramétré. Pour d une subdivision de [a,b] donnée par t0=a<t1<...<tn=b, on note

On dit que C est rectifiable si

Dans ce cas, on appelle longueur de C la borne supérieure de cet ensemble.

  Bien sûr, la définition précédente ne donne pas vraiment de méthode pratique pour calculer la longueur d'une courbe. Heureusement, quand l'arc est de classe C1, cela peut se faire grâce au théorème suivant :

Théorème : Soit (I=[a,b],f) un arc paramétré de classe C1. Alors il est rectifiable et sa longueur est donnée par :

En particulier, si l'arc est donné en coordonnées cartésiennes (x(t),y(t)), sa longueur est

Si l'arc est donné en coordonnées polaires, sa longueur est

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