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Recouvrement


  Soit X un ensemble, A une partie de X. Un recouvrement de A est une famille de parties X dont la réunion contient A (souvent, on a A=X).

Exs : Si X=]0,1], la famille des parties [1/n,1+1/n], n>0, forme un recouvrement de X.

Si X est un espace topologique, et si le recouvrement de A est constitué d'ouverts de X, ce recouvrement est dit recouvrement ouvert. Ces recouvrements jouent un rôle tout à fait particulier pour les espaces compacts à travers la propriété de Borel-Lebesgue.

Voici quelques définitions complémentaires concernant les recouvrements. Un recouvrement R1 est dit plus fin qu'un recouvrement R2 si tout élément de R2 est élément de R1. Dans ce cas, on dit aussi que R2 est un sous-recouvrement de R1. Un recouvrement R est dit localement fini si, pour chaque x de S, il existe un voisinage U de X tel que U ne recontre qu'un nombre fini d'ensembles de R.

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