$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Etude locale d'une courbe paramétrée

  Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^n$ et soit $t_0$ appartenant à $I$. On suppose qu'il existe deux vecteurs $f^{(k)}(t_{0})$ et $f^{(l)}(t_{0})$ qui sont linéairement indépendants. On note alors :

Alors $p$ et $q$, ainsi que les vecteurs correspondants $f^{( p)}(t_{0})$ et $f^{(q)}(t_{0})$ déterminent le comportement local de la courbe paramétrée au voisinage du point $M=M(t_{0})$. D'une part, la courbe paramétrée admet en $M(t_{0})$ une tangente de vecteur directeur $f^{(p )}(t_{0})$. D'autre part, suivant la parité de $p$ et $q$, on a les cas suivants :
  • $p$ est impair et $q$ est pair (typiquement $p=1$ et $q=2$). $M(t_{0})$ est alors un point ordinaire, et la courbe a l'allure suivante :

  • $p$ est impair et $q$ est impair : la courbe traverse sa tangente en $M(t_{0})$ qui est un point d'inflexion.

  • $p$ est pair et $q$ est impair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en traversant sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de première espèce.

  • $p$ est pair et $q$ est pair : la courbe fait "demi-tour" en $M(t_{0})$ en restant du même côté que sa tangente : $M(t_{0})$ est un point de rebroussement de seconde espèce.

En général, les entiers $p$ et $q$ et les vecteurs associés sont déterminés non pas un dérivant successivement $f$, mais en effectuant un développement limité au voisinage des points où $f'(t)=0$.
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