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Corps des quaternions

  Les nombres complexes sont très utiles en géométrie du plan. Vus comme couple de réels, ils permettent de représenter les points du plan, les opérations sur les nombres complexes (addition, multiplication) représentant les transformations géométriques (translation, rotation, similitude...).

  Il semble naturel d'essayer de généraliser cela pour les triplets de réels : mais c'est impossible! On ne peut pas définir une multiplication sur les triplets de nombres réels qui fasse de R3 un corps (en particulier, il serait impossible de diviser). Pour pouvoir faire cela, il faut passer à la dimension 4, et définir les quaternions. Un quaternion est un nombre a+ib+cj+dk où :
  • a,b,c et d sont des nombres réels.
  • i est le nombre complexe imaginaire pur, i2=-1.
  • j et k sont deux nouveaux nombres, qui vérifient j2=k2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
  La multiplication de deux quaternions est définie par associativité à partir des formules précédentes. Ceci munit l'ensemble des quaternions, noté H, d'une structure de corps non commutatif (par exemple, ij=-ji). Cette absence de commutativité fait que certaines propriétés très bizarres ont lieu. Ainsi, l'équation x2+1=0 admet plus de deux racines dans H : i,-i,j,-j,k,-k sont 6 racines, et il en existe en fait une infinité.

  Le module du quaternion a+bi+cj+dk est la racine carrée de a2+b2+c2+d2. On prouve que l'ensemble des quaternions de module 1 est en bijection avec l'ensembles des rotations de l'espace d'axe passant par 0. Le produit de deux quaternions correspond alors à la composition des deux rotations sous-jacentes.

Les quaternions ont été inventés par Sir William Rowan Hamilton en 1843. Il raconte lui-même qu'il a eu l'inspiration le 16 octobre 1843 alors qu'il se promenait le long du Royal Canal à Dublin. Tout excité par cette découverte, en traversant le Brougham Bridge, il aurait inscrit sur une des pierres du pont la formule de multiplication i2=j2=k2=ijk=-1.
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