$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Quadrique

  On appelle quadrique de l'espace euclidien toute surface S pour laquelle il existe un repère orthonormé dans lequel S admet pour équation :
ax2+by2+cz2+dxy+eyz+fxz+gx+hy+iz+j=0,
où le triplet (a,b,c) n'est pas le triplet (0,0,0). Il est facile de vérifier alors que dans tout repère orthonormé de l'espace, la quadrique possède une telle équation.

  Ce type d'équation correspond à des surfaces qui peuvent être très différentes. Pour obtenir plus d'informations, on essaie d'obtenir une équation réduite de la quadrique (de même que l'on cherche l'équation réduite d'une conique). Pour cela, on procède en deux temps :
  • on considère d'abord la forme quadratique :
    q((x,y,z))=ax2+by2+cz2+dxy+eyz+fxz.
    Il existe une base orthonormée de l'espace, constituée de vecteurs orthogonaux pour q. Dans ces nouvelles coordonnées, on a :
    q((X,Y,Z))=a'X2+b'Y2+c'Z2
    (c'est-à-dire qu'on a éliminé les doubles produits).
  • on fait un changement d'origine pour éliminer ou bien les termes linéaires (en X, Y ou Z) dans les coordonnées où il y a un terme carré, ou bien en éliminant les termes constants.
  Ce faisant, on obtient 17(!) types d'équations réduites. Le tableau suivant les résume, la classification étant faite en fonction de la signature de la forme quadratique.

Equation réduiteNom/DescriptionSignature de q
X2/a2+Y2/b2+Z2/c2=0Un point(3,0)
X2/a2+Y2/b2+Z2/c2=-1Vide(3,0)
X2/a2+Y2/b2+Z2/c2=1Ellipsoïde(3,0)
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2=0Cône(2,1)
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2=-1Hyperboloïde à deux nappes(2,1)
X2/a2+Y2/b2-Z2/c2=1Hyperboloïde à une nappe(2,1)
X2/a2+Y2/b2=2Z/cParaboloïde elliptique(2,0)
X2/a2+Y2/b2=0Une droite(2,0)
X2/a2+Y2/b2=1Cylindre elliptique(2,0)
X2/a2+Y2/b2=-1Vide(2,0)
X2/a2-Y2/b2=2Z/cParaboloïde hyperbolique(1,1)
X2/a2-Y2/b2=0Deux plans(1,1)
X2/a2-Y2/b2=-1Cylindre hyperbolique(1,1)
X2=2pYCylindre parabolique(1,0)
X2/a2=0Un plan(1,0)
X2/a2=-1Vide(1,0)
X2/a2=1Deux plans parallèles(1,0)

  L'ellipsoïde, les deux hyperboloïdes et les deux paraboloïdes sont appelées quadriques propres.
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