$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Produit scalaire

Présentation élémentaire ans le plan

Dans le plan usuel, pour lequel on a la notion d'orthogonalité, on considère deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$. On choisit $\overrightarrow{AB}$ un représentant de $\vec u$, et $\overrightarrow{CD}$ un représentant de $\vec v$. Le produit scalaire de $\vec u$ et de $\vec v$, noté $\vec u\cdot \vec v$ est alors défini de la façon suivante : soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$, et $K$ le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$. On a

$$\vec u\cdot \vec v=\overline{AB}\times\overline{HK}$$ c'est-à-dire $\vec u\cdot \vec v=AB\times HK$ si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{HK}$ ont même sens, $\vec u\cdot \vec v=-AB\times HK$ dans le cas contraire.

Le produit scalaire de deux vecteurs est donc un nombre (on dit encore un scalaire, par opposition à un vecteur, ce qui explique le nom de produit scalaire). Il vérifie les propriétés suivantes :

  1. il est commutatif : $\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u$;
  2. il est associatif : $\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w$;
  3. il vérifie, pour tout réel $\lambda$ et tout vecteur $\vec u$, $(\lambda \vec u)\cdot \vec v=\vec u\cdot (\lambda \vec v)=\lambda (\vec u\cdot \vec c)$.
  4. il est défini positif : $\vec u\cdot \vec u\geq 0$ avec égalité si et seulement si $\vec u=\overrightarrow 0$.

On emploie parfois d'autres expressions du produit scalaire, comme celle avec les angles (on utilise toujours les mêmes notations) $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=AB\times CD\times\cos\left(\widehat{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}}\right)$$ ou celle avec les coordonnées : si dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées respectives de $\vec u$ et $\vec v$ sont $(x,y)$ et $(x',y')$, alors : $$\vec u\cdot \vec v=xx'+yy'.$$

Le produit scalaire est très important en mathématiques, car il caractérise l'orthogonalité : les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales si, et seulement si, $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=0.$$ En outre, les calculs de longueur sont aussi reliés au produit scalaire, par la relation $$AB=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}}.$$ C'est aussi un outil fondamental en physique : si une force $\vec F$ déplace un objet d'un vecteur $\vec u$, le travail effectué par cette force vaut $$W=\vec F\cdot \vec u.$$

Espace vectoriel euclidien

L'exemple précédent est un modèle pour la définition d'un produit scalaire dans un cadre bien plus général que celui du plan. On cherche à le définir sur un espace de toute dimension. Les propriétés vérifiées par le produit scalaire dans le cas du plan conduisent à poser la définition suivante :

Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$, et soit $f:E\times E\to \mathbb R$ une fonction. On dit que f est un produit scalaire si
  1. pour tous $u,v$ de $E$, $f(u,v)=f(v,u)$.
  2. pour tous $u,v,w$ de $E$, $f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w)$.
  3. pour tout $\lambda\in\mathbb R$, et tous $u,v$ de $E$, $f(\lambda u,v)=f(u,\lambda v)=\lambda f(u,v)$.
  4. pour tout $u$ de $E$, $f(u,u)>=0$, avec égalité si, et seulement si, $u=0$.

Autrement dit, un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Définition : Un espace vectoriel sur $\mathbb R$ muni d'un produit scalaire est dit
  • euclidien s'il est de dimension finie.
  • préhilbertien s'il est de dimension infinie.

A posteriori, on peut maintenant définir dans un espace vectoriel euclidien les notions d'orthogonalité,...

Ex : Soit $E$ l'ensemble des polynômes, $w$ une fonction continue strictement positive sur l'intervalle $[a,b]$. On définit un produit scalaire sur E en posant $f(P,Q)=\int_a^b P(x)Q(x)w(x)dx.$$ Cet exemple donne naissance à la riche théorie des polynômes orthogonaux.

Cas complexe

Pour des raisons techniques, il faut légèrement changer la définition d'un produit scalaire dans le cas d'un espace vectoriel sur $\mathbb C$.

Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb C$, et soit $f:E\times;E \to\mathbb C$ une fonction. On dit que $f$ est un produit scalaire si
  1. pour tous $u,v$ de $E$, $f(u,v)=\overline{f(v,u)}$.
  2. pour tous $u,v,w$ de $E$, $f(u+v,w)=f(u,w)+f(v,w)$.
  3. pour tout $\lambda \in\mathbb C$, et tous $u,v$ de $E$, $f(\lambda u,v)=\lambda f(u,v)$.
  4. pour tout $u$ de $E$, $f(u,u)>=0$, avec égalité si, et seulement si, $u=0$.
Définition : Un espace vectoriel sur $\mathbb C$ muni d'un produit scalaire est dit
  • hermitien s'il est de dimension finie.
  • préhilbertien (complexe) s'il est de dimension infinie.
Le concept de produit linéaire de vecteurs est né de la physique, sous la plume de Grassman et Gibbs. Le terme de produit scalaire semble dû à Hamilton (vers 1853).
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