$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Solution d'une équation différentielle

  Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R\times \mathbb R^m$ et $f:U\to\mathbb R^m$ une fonction continue. On considère l'équation différentielle $y'=f(x,y)$, où $(x,y)\in U$.
  • Une solution de l'équation différentielle est la donnée d'un couple $(y,I)$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $y$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb R^m$ tels que, pour tout $x\in I$, $\big(x,y(x)\big)\in U$ et $y'(x)=f\big(x,y(x)\big)$.
  • Si $(y_1,I_1)$ et $(y_2,I_2)$ sont deux solutions de l'équation différentielle, on dit que $(y_2,I_2)$ est un prolongement de $(y_1,I_1)$ si
  • On dit que $(y,I)$ est une solution maximale de l'équation différentielle si elle n'admet pas de prolongement. Autrement dit, pour toute autre solution $(z,J)$, on a
  • Lorsque l'ouvert $U$ est de la forme $J\times V$, où $J$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $V$ est un ouvert de $\mathbb R^m$, on dit que la solution $(y,I)$ est une solution globale lorsque $J=I$ (autrement dit, l'intervalle de définition de la solution est le plus grand que l'on puisse espérer).
Remarquons qu'une solution globale est toujours maximale, mais qu'une solution maximale peut tout à fait ne pas être globale.