$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Projection orthogonale

Dans le plan ou l'espace
  Si D est une droite du plan, on appelle projection orthogonale sur D l'application qui à tout point M du plan associe le point M' tel que
  Si P est un plan de l'espace, on appelle projection orthogonale sur P l'application qui à tout point M du plan associe le point M' tel que
  Si D est une droite de l'espace, on appelle projection orthogonale sur D l'application qui à tout point M du plan associe le point M' tel que
M' est en fait le point d'intersection de D et du plan normal à D passant par M.

Dans un espace vectoriel euclidien
Définition : Soit F un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien E. Alors on appelle projection orthogonale sur F la projection sur F parallèlement à son supplémentaire orthogonal .

Si on note p cette projection, alors elle vérifie deux propriétés fondamentales :
  1. : le projeté orthogonal minimise la distance de x à F.
  2. Notant (e1,...,ep) une base orthonormale de F, on a

Dans un espace de Hilbert
  Dans un espace de Hilbert, on peut de la même façon définir la projection orthogonale sur un sous-espace fermé. Mais la propriété fondamentale pour pouvoir projeter est la convexité :

Théorème : Soit C un convexe fermé (non vide) d'un espace de Hilbert H. Pour tout x de H, il existe un unique p(x) appartenant à C tel que
De plus, p(x) est caractérisé par
p(x) s'appelle projeté orthogonal de x sur C.