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Groupe projectif linéaire

Soit $E$ un espace vectoriel. On appelle groupe projectif linéaire de $E$ le quotient du groupe linéaire par son centre (le centre du groupe linéaire est constitué des applications linéaires qui sont des homothéties non nulles). On le note $PGL(E)$. On appelle groupe projectif spécial linéaire de $E$ le quotient du groupe spécial linéaire par son centre. On le note $PSL(E).$ En identifiant les éléments de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ et les endomorphismes de $\mathbb K^n,$ on définit aussi $PGL_n(\mathbb K)$ et $PSL_n(\mathbb K).$

Théorème : Si $\mathbb K$ est algébriquement clos, alors $PGL_n(\mathbb K)$ et $PSL_n(\mathbb K)$ sont isomorphes.

On sait également que $PSL_n(\mathbb K)$ est simple sauf si ($n = 2$ et $\mathbb K = \mathbb F_2$) ou ($n = 2$ et $\mathbb K = \mathbb F_3)$ où $\mathbb F_q$ est le corps fini à $q$ éléments.

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