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Projection

Projection
Définition : Soient F et G deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel E. Alors on appelle projection sur F parallèlement à G l'application qui à tout x de E associe l'unique y de F tel que x=y+z avec z élément de G.
Une telle application est aussi appelée projecteur.
Ex : E=R2, F et G sont deux droites de E.
Il existe une autre façon de définir les projecteurs.
Théorème : Un élément p de L(E) est un projecteur si et seulement si pop=p.
Dans ce cas, Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires, et p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p).

Système de projecteurs associé
  Soit (Ei), i dans I, des sous-espaces vectoriels de E qui sont en somme directe et tels que . Fixons i dans I et posons . Alors Ei et Fi sont supplémentaires. On peut donc définir pi la projection sur Ei parallèlement à Fi.
La famille (pi) s'appelle sytème de projecteurs associé à la décomposition . Elle vérifie les propriétés suivantes :
  1. pour i distinct de j, piopj=pjopi=0.
  2. si x élément de E s'écrit , alors xi=pi(x).
Consulter aussi...