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Progression arithmétique

  On appelle progression arithmétique tout ensemble d'entiers de la forme an+b, où a et b sont deux autres entiers, et n décrit l'ensemble des entiers. Autrement dit, une progression arithmétique désigne l'ensemble des valeurs prises par une suite arithmétique.

  Ce terme de progression arithmétique est souvent associé à un célèbre théorème de Dirichlet : si a et b sont premiers entre eux, il existe une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique an+b.

  Démontrons un cas (très) particulier de ce théorème, à savoir qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3. Supposons qu'il en existe seulement un nombre fini. On considère alors
n=3×7×11×19×...
le produit de ces nombres, et posons m=4n-1. Aucun nombre premier de la forme 4k+3 ne peut diviser m. En effet, dans ce cas, 4k+3 divise aussi n (qui est le produit de ces nombres), et par conséquent 1, ce qui est impossible! Tous les nombres premiers qui divisent m sont dont de la forme 4k+1. En particulier, le reste de m dans la division euclidienne par 4 est 1. Mais c'est impossible, car 4n-1=4(n-1)+3, et le reste vaut 3!
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