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Bibm@th

Produit mixte

Définition : Soient trois vecteurs de l'espace orienté. On définit leur produit mixte par :
Le produit mixte de trois vecteurs est donc un nombre réel qu'on appelle aussi le déterminant de ces trois vecteurs. Il permet de caractériser si des vecteurs sont coplanaires :
Théorème : Soient trois vecteurs de l'espace orienté. Alors ces trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si leur produit mixte est nul.
Par ailleurs, le produit mixte vérifie les propriétés suivantes :
  • il est linéaire par rapport à chaque variable :
  • le produit mixte est inchangé quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs :
  • il est invariant par permutation circulaire :
Pourquoi ce nom produit mixte? Sans doute parce qu'il fait intervenir à la fois le produit vectoriel et le produit scalaire.
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