$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Produit de Cauchy de deux séries

  Soient et deux séries numériques. Quelle est la série produit? On ne peut simplement la définir sous la forme , car on n'aura pas (prendre par exemple un=1/2n, et vn=1/2n).

  Faisons plutôt le produit des sommes partielles u0+...+un, v0+...+vn, en regroupant les termes uivj selon les valeurs de l'indice i+j. Les premiers termes de la somme obtenue sont :
u0v0; u0v1+u1v0; u2v0+u1v1+u0v2;...; u0vn+u1vn-1+...+unv0;...
Le produit des deux séries et est alors défini par la série de terme général
wn=u0vn+u1vn-1+...+unv0.
qu'on appelle produit de Cauchy des deux séries. On dispose d'un théorème général qui permet de dire que la somme de la série produit est égal au produit des sommes des deux séries :

Théorème : Supposons que les séries de terme général un et vn sont absolument convergentes. Alors la série de terme général wn est absolument convergente et l'on a :

On peut affaiblir un peu les hypothèses du théorème précédent : il suffit en fait que l'une des deux séries soit absolument convergente (c'est le théorème de Mertens). Il existe des exemples où les deux séries sont convergentes, mais non absolument convergentes, et telles que leur produit de Cauchy ne converge pas. Par exemple :
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