$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Processus stochastique

  Un processus stochastique est un modèle probabiliste permettant d'étudier un phénomène aléatoire au cours du temps. Formellement, un processus stochastique est la donnée :
  1. d'un espace probabilisé $(X,A,P)$;
  2. d'un espace mesurable $(E,B)$;
  3. d'une famille $(Y_t)_{t\in T}$ de variables aléatoires définies sur $(X,A,P)$ à valeurs dans $(E,B)$.
L'ensemble $E$ est l'espace des états du processus, l'ensemble $T$ l'espace des temps. Pour $x$ dans $X$, l'application qui à tout $t$ de $T$ associe $Y_t(x)$ est la trajectoire de $x$. Souvent, $T$ est l'ensemble des entiers $\mathbb N$, et alors on dit que le processus est à temps discret, ou bien $T=\mathbb R$, et on dit alors que le processus est à temps continu.

Exemples :
  • On considère une suite de parties de piles ou faces indépendants, et on note $S_n$ le nombre de piles obtenus après la n-ième partie. La suite $(S_n)$ est un processus, appelé processus ou schéma de Bernoulli.
  • On considère un appareil, et on note $N_t$ le nombre de pannes survenues entre l'instant 0 et l'instant $t$. $(N_t)_{t\in\mathbb R}$ est un processus à temps continu.