$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Propriété presque sûrement vraie

  Soit un espace probilisé, et une propriété. On pose :
Si P(A)=1, on dit que la propriété est presque sûrement vraie.

Ex : On lance un dé à 6 faces parfaitement équilibré, et on répète les lancers jusqu'à obtenir un 6. Alors, presque sûrement, on ne lance qu'un nombre fini de fois le dé.
  Cela signifie qu'il n'est pas impossible, en théorie, d'être très malchanceux et de n'obtenir jamais de 6. Mais en pratique, cela ne se produit jamais.
  Prouvons ce résultat : soit F l'événement "On n'effectue qu'un nombre fini de lancers", et G l'événement contraire. Soit An l'événement "Au cours des n premiers lancers, on n'obtient pas de 6". Clairement, les événements (An) sont décroissants, et Maintenant :
G est un événement négligeable : on effectue presque sûrement un nombre fini de lancers.

Remarque : On parle aussi parfois de probabilité vraie presque partout. C'est d'ailleurs le langage généralement adopté lorsqu'on se place dans un espace mesuré. On parle ainsi souvent de convergence presque partout dans la théorie de l'intégration de Lebesgue.
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