Fonctions presque périodiques

Une fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ est presque périodique si elle est continue et si, pour tout $\veps>0,$ il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, pour tout intervalle $I$ de longueur $M$, il existe $t\in I$ avec $|f(x+t)-f(x)|<\veps .$

Exemple : La fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\sin(2\pi x)+\sin(2\pi\sqrt 2x)$ est une fonction presque périodique qui n'est pas périodique.

On montre qu'une fonction presque périodique est limite uniforme sur $\mathbb R$ de sommes trigonométriques $$a_1\cos(r_1x)+\cdots+a_m\cos(r_m x)+b_1\sin(q_1 x)+\cdots+b_n\sin(q_n x)$$ où les $r_i$ et $q_j$ ne sont pas forcément des entiers.