$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe défini par générateurs et relations

  Si $G$ est un groupe admettant $S$ pour système générateur, tout élément du groupe peut s'écrire sous la forme $x_1^{a_1}\cdots x_p^{a_p}$ où les $x_i$ sont des éléments de $S$ et $a_i\in\mathbb Z$. Cependant, cette écriture n'est en général pas unique. Comme tout élément du groupe libre s'écrit de manière unique comme un mot réduit, on voudrait trouver une écriture unique des éléments de $G$ en fonction du système générateur. Dans le groupe libre, on passe d'un mot à un mot réduit en simplifiant les écritures du type $xx^{-1}$. Dans un groupe plus général, il va falloir autoriser toutes les simplifications possible. Donnons deux exemples :
  • $G=\mathbb Z/n\mathbb Z$. Posons $a=\bar 1$. Alors les éléments de $G$ s'écrivent de façon unique $a^p$ pour $p=0,\dots,n-1$. Cela signifie que dans un mot général $a^p$, on peut simplifier tous les $a^n$ qui apparaissent. Par rapport au groupe libre sur l'alphabet $\{a\}$, on impose en plus la relation $a^n=1$.
  • $G=\mathbb Z\times\mathbb Z$. Posons $a=(1,0)$ et $b=(0,1)$. Tout élément s'écrit alors de façon unique $a^nb^m$ avec $n,m\in\mathbb Z$. Ceci signifie que par rapport au groupe libre sur l'alphabet $\{a,b\}$, on doit encore imposer la relation de commutativité $ab=ba$, qu'on va plutôt écrire sous la forme $aba^{-1}b^{-1}=1$.
Définition : Soit $S$ un ensemble et $R$ une partie du groupe libre $\mathcal F(S)$. Soit $N$ le plus petit sous-groupe normal contenant $S$. Alors on appelle groupe défini par les générateurs $S$ et les relations $R$ le groupe quotient $\mathcal F(S)/N$. On le note $\langle S|R\rangle$. Si $G$ est un groupe isomorphe à $\langle S|R\rangle$, on dit que $\langle S|R\rangle$ est une présentation de $G$. On dit que $G$ est de présentation finie si $G$ est isomorphe à un groupe $\langle S|R\rangle$ où $S$ et $R$ sont finis.
  Tout groupe étant quotient d'un groupe libre, on peut toujours le définir par générateurs et relations. Cependant, cette définition n'est pas unique.

  Le groupe $\langle S|R\rangle $ est caractérisé par la propriété universelle suivante :
Théorème : Pour tout groupe $H$ et toute application $f:S\to H$ telle que les images des éléments de $S$ satisfassent les relations de $R$ (ie si $s_1^{a_1}\dots s_p^{a_p}\in R$, alors $f(s)^{a_1}\dots f(s_p)^{a_p}=1$), alors $f$ se prolonge de façon unique en un morphisme de groupe $\langle S|R\rangle\to H$.
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