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Nombre premier régulier

Définition : Un nombre premier impair est dit régulier si $p^2$ ne divise aucun des nombres $1^k+2^k+\dots+(p-1)^k$ pour $k=2,4,\dots,p-3$.
  Cette définition peut sembler assez étrange. Pourquoi qualifier de régulier un nombre premier satisfaisant ces propriétés bizarres? Historiquement, la notion de nombre premier régulier, introduite au XIXè siècle par Kummer, fut définie autrement. Kummer disait qu'un nombre premier $p$ est régulier si $p$ ne divise pas le nombre de classe d'idéaux de l'anneau $\mathbb Z[e^{i2\pi/p}]$. Il s'intéresse à ces nombres premiers, car il démontre que pour ces nombres, le théorème de Fermat est valide : l'équation $x^p+y^p=z^p$ a pour unique solution entière $x=y=z=0$. La définition donnée plus haut est une caractérisation arithmétique des nombres premiers réguliers, facile à tester, qui est aussi due à Kummer. Elle lui a permis notamment de donner la listee des nombres premiers impairs inférieurs ou égaux à 100 qui sont réguliers : ils le sont tous, excepté 37, 59 et 67.
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