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Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premiers

Un nombre entier naturel $p$ est appelé nombre premier s'il est strictement plus grand que 1 et s'il n'admet que deux diviseurs positifs : $1$ et $p$. Dans le cas contraire, cet entier est dit composé.

Ex : 7 est premier. 24 est composé : 2 divise 24.

Les nombres premiers sont des briques fondamentales pour l'écriture de tout entier. En effet, tout entier $n\geq 2$ s'écrit de manière unique comme produit de nombres premiers : $$n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r},$$ où $p_1,\dots,p_r$ sont des nombres premiers et les $\alpha_i$ sont des entiers supérieurs ou égaux à 1. On dit qu'on a réalisé la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$. Les premiers $p_i$ qui interviennent dans cette décomposition s'appellent les facteurs premiers de $n$.

Ex : $24=2^3\times 3^1.$

Théorème (Euclide) : L'ensemble des nombres premiers est infini.

Il existe des algorithmes pour écrire tous les nombres premiers, par exemple le crible d'Erathostène. Il existe aussi d'autres algorithmes pour déterminer si un entier naturel est premier.

Sujet évidemment très ancien et très classique, les nombres premiers font encore l'objet de nombreuses recherches. Ils sont aussi très utilisés dans diverses méthodes de cryptographie.

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