$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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ppcm

ppcm de deux entiers
  Si a et b sont deux entiers non nuls, l'ensemble de leur multiple commun est une partie de Z non vide, et minorée par max(|a|,|b|). Il possède donc un plus petit élément qui est le plus petit multiple commun, ou ppcm de a et b. On convient que ppcm(a,0)=0.

  Le ppcm de a et b est le plus petit des multiples pour l'ordre usuel. C'est aussi le plus petit des multiples pour la divisibilité, comme l'indique la proposition suivante :
Proposition : Soit a et b deux entiers, et m un multiple commun à a et b. Alors ppcm(a,b) divise m.

  On dispose essentiellement de deux algorithmes pour déterminer le ppcm de deux entiers a et b :
  1. la division euclidienne : par cette méthode, on calcule le pgcd de a et b, et on utilise la fait que ab=pgcd(a,b)×ppcm(a,b).
  2. la décomposition en facteurs premiers : si a et b s'écrivent
    alors
On définit de même le ppcm de plus de deux entiers comme le plus petit élément de l'ensemble des multiples communs de ces entiers.

ppcm de deux polynômes
  On suppose désormais que K est un corps. On peut également définir la notion de ppcm de deux polynômes de K[X]. Toutefois, on ne dispose plus de la relation d'ordre naturelle qui existe sur les entiers, et l'extension de la notion de ppcm se fait par la relation "être plus petit pour la relation de divisibilité". On a ainsi la proposition et définition suivante :
Proposition et Définition: Soient P et Q deux éléments de K[X]. Il existe un unique polynôme M nul ou unitaire tel que, pour tout R de K[X], on ait :
(P|R et Q|R) si et seulement si M|R.
Ce polynôme M est appelé le ppcm de P et Q.

  Le ppcm de deux polynômes satisfait les mêmes propriétés que le ppcm de deux entiers.

ppcm dans un anneau principal
  On peut étendre la définition du ppcm à d'autres anneaux que Z et K[X] en partant de la remarque suivante. Si a et b sont deux entiers, alors m=ppcm(a,b) est l'unique entier naturel tel que . De même, si P et Q sont deux polynômes, alors M=ppcm(A,B) est l'unique polynôme unitaire ou nul tel que . Ainsi, si a et b sont deux éléments d'un anneau A, il est naturel de définir leur ppcm comme l'élément m tel que . Cela pose deux problèmes :
  • Il faut être sûr qu'un tel élément m va exister. Pour cela, il suffit de remarquer que est un idéal de A. Pour être sûr qu'il soit de la forme mA, il suffit que l'anneau soit principal, c'est-à-dire que tous ses idéaux sont engendrés par un seul élément.
  • Il faut garantir l'unicité d'un tel élément. Cela n'est en général pas possible. Par exemple, sur les entiers, mZ=(-m)Z. Pour les polynômes, si x est un réel non nul, (xM)K[X]=MK[X]. Même pour ces deux exemples, avec la définition précédente, le ppcm n'aurait été défini qu'à un élément inversible près. On a dû en plus choisi une normalisation appropriée.
  Si l'on résume ces considérations, on a la proposition suivante :
Proposition et Définition: Soient A un anneau principal, a et b deux éléments de A. Aux inversibles près, il existe un unique m de A tel que . m satisfait que, pour tout c de A, on a :
(a|c et b|c) si et seulement si m|c.
d est appelé ppcm de a et b.

ppcm dans un anneau factoriel
  Une autre façon d'étendre la définition du ppcm est de partir de la décomposition en facteurs premiers et de définir le ppcm de a et b comme dans l'algorithme de calcul ci-dessus. Ceci n'est possible que dans un anneau où tout élément non nul admet une décomposition unique, aux inversibles près, en produits de facteurs irréductibles (dans un anneau, on emploie plutôt le théorème de facteur irréductible que de facteur premier). De tels anneaux sont appelés anneaux factoriels. On a alors :
Proposition et Définition: Soient A un anneau factoriel, a et b deux éléments de A. Soit
leur décomposition respective en produit de facteurs irréductibles (u et v sont des éléments inversibles, les pi sont des éléments irréductibles). Alors le ppcm de a et b est défini par
Il est tel que, pour tout c de A on a :
(a|c et b|c) si et seulement si ppcm(a,b)|c.

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