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Théorème du porte-manteau

Le théorème du porte-manteau est un théorème de probabilité qui énonce l'équivalence de divers modes de convergence de variables aléatoires ou de mesures.

Théorème du porte-manteau pour les variables aléatoires : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soit $X$ une variable aléatoire, toutes à valeurs dans le même espace métrique $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. pour toute fonction $\varphi:E\to\mathbb R$ continue et bornée, $\lim_n \mathbb E(\varphi(X_n))=\mathbb E(\varphi(X))$.
  2. pour toute fonction $\varphi:E\to\mathbb R$ uniformément continue et bornée, $\lim_n \mathbb E(\varphi(X_n))=\mathbb E(\varphi(X))$.
  3. pour tout fermé $F$ de $E$, $\limsup_n \mathbb P(X_n\in F)\leq \mathbb P(X\in F)$.
  4. pour tout ouvert $O$ de $E$, $\liminf_n \mathbb P(X_n\in O) \geq \mathbb P(X\in O)$.
  5. pour tout borélien $A$ de $E$ tel que $P(X\in\partial A)=0$, $\lim_n P(X_n\in A)=P(X\in A)$.
Si l'une de ces conditions équivalentes est vérifiée, on dit que $(X_n)$ converge en loi vers $X$.
Théorème du porte-manteau pour les mesures : Soit $S$ un espace métrique muni de sa tribu borélienne $\Sigma$, soit $(\mu_n)$ une suite de mesures de probabilité sur $(S,\Sigma)$ et soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $(S,\Sigma)$.Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. pour toute fonction continue et bornée $f$, $\int_S fd\mu_n \to \int_S fd\mu$.
  2. pour toute fonction lipschitzienne et bornée $f$, $\int_S fd\mu_n \to \int_S fd\mu$.
  3. pour toute fonction semi-continue supérieurement et majorée $f$, $\limsup_n \int_S fd\mu_n \leq \int_S fd\mu$.
  4. pour toute fonction semi-continue inférieurement et minorée $f$, $\liminf_n \int_S fd\mu_n \geq \int_S fd\mu$.
  5. pour toute partie fermée $C$ de $S$, $\limsup_n \mu_n(C)\leq \mu(C)$.
  6. pour toute partie ouverte $U$ de $S$, $\liminf_n \mu_n(U)\geq \mu(U)$.
  7. pour toute partie $A$ de $S$ telle que $\mu(\partial A)=0$, alors $\lim_n \mu_n(A)=\mu(A)$.
Si l'une des conditions équivalentes est vérifiée, on dit que la suite $(\mu_n)$ converge faiblement vers $\mu$.
Ce théorème a été démontré par Alexandrov dans une série d'articles entre 1940 et 1943. Il a été popularisé en France sous le nom de théorème du porte-manteau. Dans la littérature anglaise, il semble que la première apparition sous ce nom soit due à Bilingsley en 1968, qui l'a orthographié portmanteau...
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