$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes symétriques

Un peu de théorie...
  Soit A un anneau commutatif unitaire. Un polynôme en n variables P appartenant à A[X1,...,Xn] est dit symétrique si, pour toute permutation , on a :

Exemple :
  Dans R[X,Y,Z], les polynômes X+Y+Z, XY+YZ+ZT, XYZ sont des polynômes symétriques.

  Les trois polynômes présentés ci-dessus ne sont pas choisis de façon anodine. Tous les polynômes symétriques de R[X,Y,Z] peuvent s'écrire comme produits et sommes de ceux-là. Plus généralement, on introduit la définition suivante :

Définition : Les polynômes symétriques élémentaires de A[X1,...,Xn] sont

Les polynômes symétriques élémentaires génèrent l'algèbre des polynômes symétriques :

Théorème : Soit P un polynôme symétrique. Alors il existe un unique g de A[X1,...,Xn] tel que

  Ce théorème est particulièrement intéressant lorsqu'il est mis en parallèle avec les relations coefficients/racines. Rappelons que si P de A[X] s'écrit

alors

En vertu du théorème précédent, on va pouvoir exprimer toute fonction symétrique des racines en fonction des coefficients du polynôme.

En pratique
  Si P est un polynôme symétrique en X1,...,Xn, il existe des méthodes efficaces pour déterminer le polynôme g tel que . D'abord, on décompose P en sommes de polynômes homogènes. On peut donc supposer que P est homogène de degré p.

  On munit ensuite Nn de l'ordre lexicographique. On écrit
et on considère le n-uplet le plus grand tel que . On a alors . On pose :

P1 est homogène de degré p. Si est le coefficient non-nul avec d'ordre lexicographique le plus grand, on a .

On continue alors avec P1 et, de proche en proche, on détermine g, puisqu'à chaque étape on va diminuer strictement l'ordre lexicographique.
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