$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Polynômes interpolateurs de Lagrange

Définition : Soit $n\in\mathbb N^*$ et soient $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$. Pour tout $i$ de $\{1,\dots,n\}$, on appelle ième polynôme interpolateur de Lagrange le polynôme de degré $n-1$ $$L_i(X)=\prod_{j\neq i}\frac{X-a_j}{a_i-a_j}.$$
  Les polynômes interpolateurs possèdent la propriété fondamentale suivante : $$L_i(a_k)=\left\{ \begin{array}{cc} 1&\textrm{ si }i=k\\ 0&\textrm{ si }i\neq k. \end{array}\right.$$ Ils permettent de fabriquer des polynômes de degré $n-1$ prenant une valeur donnée en chaque $a_i$. Précisément, on a le théorème suivant :
Théorème : Soit $n\in\mathbb N^*$ et soient $a_1,\dots,a_n\in \mathbb K$. On note $L_i$ le $i$-ème polynôme de Lagrange associé aux $a_1,\dots,a_n$. Alors
  • Pour toute famille $b_1,\dots,b_n$ d'éléments de $\mathbb K$, le polynôme $$Q=\sum_{i=1}^{n-1}b_i L_i$$ est l'unique polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$ et vérifiant $Q(a_i)=b_i$ pour tout $i$ de $\{1,\dots,n\}$.
  • Pour tout polynôme $P$ de $\mathbb K_{n-1}[X]$, on a $$P=\sum_{i=1}^n P(a_i)L_i.$$
Consulter aussi...