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Bibm@th

Polynôme homogène

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et soit $P$ un polynôme en $n$ variables appartenant à $A[X_1,\dots,X_n]$ s'écrivant $$P=\sum_{\nu\in\mathbb N^n}a_\nu X_1^{\nu_1}\cdots X_n^{\nu_n}.$$ $P$ est dit homogène de degré $d$ s'il vérifie la condition suivante : $$a_\nu\neq 0\implies \nu_1+\cdots+\nu_n=d.$$

Exemples :

  • le polynôme $X^2Y^5+7XYZ^5-11X^2Y^3Z^2$ est homogène de degré 7, puisque $2+5+0=1+1+5=2+3+2=7;$
  • les polynômes homogènes de degré 2 sont les formes quadratiques.

Tout polynôme $Q$ à $n$ variables peut s'écrire de façon unique $$Q=\sum_{k=0}^n Q_k$$ où $Q_k$ est un polynôme homogène de degré $k$. Il suffit pour cela de regrouper ensemble les monômes ayant même degré. Le polynôme homogène $Q_k$ est parfois appelé composante homogène de degré $k$ de $Q$.

Si $K$ est un corps, l'ensemble des polynômes homogènes de degré $d$ de $K[X_1,\dots,X_n]$ forme un $K$-espace vectoriel. Sa base canonique est l'ensemble des monômes $X_1^{\alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}$ où $\alpha\in\mathbb N^n$ est tel que $\alpha_1+\cdots+\alpha_n = d.$ En particulier, sa dimension est le nombre de $d$-combinaisons avec répétition de l'ensemble $\{1,\dots,n\}$, c'est-à-dire $\binom{n+d-1}d$.

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