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Polyèdres

Un polyèdre est un solide de l'espace délimité par un nombre fini de polygones, tel que chaque côté de chaque polygone est commun avec un côté d'un autre polygone. Les sommets des polygones sont appelés sommets du polyèdre, les côtés des polygones sont appelés arêtes du polyèdre, tandis que les polygones sont les faces du polyèdre.

Un polyèdre est dit convexe si, pour chaque plan de l'espace qui contient une face du polyèdre, le polyèdre est tout entier dans un des demi-espaces délimité par le plan. Pour ces polyèdres convexes, on a la célèbre relation d'Euler, qui relie le nombre de faces $F$, le nombre de sommets $S$, le nombres d'arêtes $A$ : $$F+S=A+2.$$

Polyèdres réguliers

Il n'existe que 5 polyèdres convexes qui sont réguliers (c'est-à-dire que leurs faces sont des polygones réguliers). On les appelle aussi les solides de Platon. Ils sont :

  • Le tétraèdre régulier : 4 faces (des triangles équilatéraux), 4 sommets, 6 arêtes.
  • Le cube : 6 faces (des carrés), 8 sommets et 12 arêtes.
  • L'octaèdre régulier : huit faces (des triangles équilatéraux), 6 sommets, 12 arêtes.
  • Le dodécaèdre régulier : 12 faces (des pentagones réguliers), 20 sommets, 30 arêtes.
  • L'icosaèdre régulier : 20 faces (des triangles équilatéraux), douze sommets, et trente arêtes.

Remarquons que sur tous ces polyèdres, la relation d'Euler est vérifiée!

Autres polyèdres remarquables!
  • Le prisme. Si P est un polygone, et P' un translaté de ce même polygone, on obtient un polyèdre en reliant chaque sommet du premier polygone à son translaté. Un tel polyèdre est un prisme. C'est un prisme droit si toutes les faces latérales sont des rectangles.
  • Le parallélépipède : C'est un polyèdre dont les 6 faces sont deux à deux parallèles. Il est rectangle si ses faces sont des rectangles.
Le philosophe athénien Platon n'est pour rien dans la découverte des cinq polyèdres convexes réguliers. Ils étaient connus plus de 1000 ans avant lui, et c'est au mathématicien grec Théétète que l'on doit la première preuve du fait qu'il n'en existe pas d'autres. Platon les rendit célèbres par une théorie les associants aux éléments du cosmos : le feu est associé au tétraèdre, la terre à l'hexaèdre, l'air à l'octaèdre et l'eau à l'icosaèdre. Quant au dodécaèdre, avec ses faces pentagonales, Platon prétendait qu'il s'agissait de la forme de l'univers.