$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formules de polarisation

On appelle formules de polarisation les identités qui permettent d'exprimer une forme bilinéaire symétrique en fonction de la forme quadratique associée. Ainsi, si $f$ est une forme bilinéaire symétrique, et $q$ est la forme quadratique associée définie par $q(x)=f(x,x)$, on a pour tous $x$ et $y$ : \begin{eqnarray*} f(x,y)&=&\frac12\big(q(x+y)-q(x)-q(y)\big)\\ &=&\frac 12\big(q(x)+q(y)-q(x-y)\big)\\ &=&\frac 14\big(q(x+y)-q(x-y)\big). \end{eqnarray*}

En particulier, si $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire sur un espace euclidien, et si $\|\cdot\|$ est la norme associée, on a : $$\langle x,y\rangle=\frac14\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).$$ Ces formules ont aussi leur pendant pour les formes hermitiennes. Elles sont souvent utiles pour obtenir des informations sur une forme bilinéaire symétrique quand on ne connait des informations que sur la forme quadratique associée.

Il existe aussi des formules de polarisation pour les formes hermitiennes : si $f$ est une telle forme hermitienne, et si $q(x)=f(x,x)$, alors on a $$f(x,y) = \frac 14 \big(q(x+y) - q(x-y) + iq(x-iy) - iq(x+iy)\big).$$

Recherche alphabétique
Recherche thématique