$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formule sommatoire de Poisson

Théorème : Soit F une fonction continue et intégrable sur R. On définit sa transformée de Fourier par :
On suppose en outre que F vérifie les deux conditions suivantes :
Alors on a :
  Cette formule magnifique, qui relier les valeurs entières d'une fonction et de sa transformée de Fourier, a de nombreuses applications, notamment en théorie des nombres où elle permet de calculer les sommes de certaines fonctions arithmétiques. Voici une esquisse de sa preuve : soit f la fonction continue sur R et 1-périodique
(la convergence est normale sur tout intervalle de type [-A,A]). Les coefficients de Fourier de f vérifient
(la permutation limite/intégrale est encore une fois justifiée par la convergence normale). Maintenant, puisque la série de terme général |ck(f)| est normalement convergente, la fonction
a les mêmes coefficients de Fourier que f et est elle-aussi continue. On a donc f=S (autrement dit, f est somme de sa série de Fourier). Si on prend maintenant l'évaluation en 0, on obtient le résultat désiré.
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