$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Point régulier, birégulier, stationnaire

Arc paramétré
Définition : Soit (I,f) un arc paramétré de classe C1, t appartenant à I et M=f(t).
  • On dit que M est un point régulier si f '(t) est non nul.
  • Dans le cas contraire, on dit que M est un point singulier ou encore point stationnaire.
  • Si (I,f) est de classe C2, le point M est dit birégulier si les vecteurs f '(t) et f ''(t) sont linéairement indépendants.
  L'étude locale d'un arc paramétré est plus facile au voisinage d'un point birégulier!

Surface paramétrée
  Si on considère une nappe paramétrée , un point M(u0,v0) est régulier si la différentielle de M en (u0,v0) est de rang 2.

  En un point régulier d'une nappe paramétrée, on peut définir le plan tangent.

Surface implicite
  On considère une surface implicite donnée par une équation du type F(x,y,z)=0, pour (x,y,z) dans un ouvert U de R3. Un point M0=(x0,y0,z0) est dit régulier si
Alors, localement autour de M0, la surface peut être décrite par une nappe paramétrée, et même par une surface cartésienne cartésienne (c'est-à-dire par une équation du type z=f(x,y), si la dérivée partielle par rapport à z est non-nulle).
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