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Bibm@th

Grand théorème de Picard

Théorème : Soit $f$ une fonction entière qui n'est pas un polynôme. Alors il existe $w_0\in\mathbb C$ tel que l'image de $f$ contient $\mathbb C\backslash \{w_0\}$ et toute valeur de $\mathbb C\backslash \{w_0\}$ est prise une infinité de fois.

Autrement dit, toute valeur du plan complexe est prise une infinité de fois, à part une éventuelle exception. Ceci est également vrai au voisinage d'une singularité essentielle d'une fonction holomorphe.

Ce résultat très profond illustre bien la complexité du comportement des fonctions holomorphes et leur différence par rapport aux fonctions de la variable réelle. Il fut prouvé en 1880 par le mathématicien Emile Picard à qui l'on doit également l'utilisation du théorème du point fixe pour des méthodes d'approximations successives de solutions.
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